Primitives usuelles

Propriété Primitives des fonctions de référence

Dans le tableau suivant, on note \(f\) une fonction définie  sur un intervalle \(I\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur cet intervalle \(I\) . Dans ce tableau, \(n\) représente un entier.

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline{}\boldsymbol f & \boldsymbol F & \boldsymbol I\\\hline0 & a & \mathbb R\\\hline{}a & ax & \mathbb R\\\hline{}x^n (n\geqslant 1) & \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} & \mathbb R\\\hline\dfrac{1}{\sqrt x} & 2\sqrt x& ]0~;+\infty[\\\hline\dfrac{1}{x^n} (n\geqslant 2) & \dfrac{-1}{(n-1)x^{n-1}}& ]-\infty~;~0[ \text{ ou } ]0~;+\infty[\\\hline\dfrac1x & \ln x& ]0~;+\infty[\\\hline\text e^x & \text e^x& \mathbb R\\\hline\cos x & \sin x& \mathbb R\\\hline\sin x & -\cos x& \mathbb R\\\hline\hline\end{array}\)

Exemples  

• Une primitive de \(x \mapsto 2\) sur  \(\mathbb R\) est \(x \mapsto 2x\) .
  
• Une primitive de \(x \mapsto x^2\)   sur  \(\mathbb R\)   est \(x \mapsto \dfrac{1}{3}x^{3}\) .
• Une primitive de \(x \mapsto x^3\) sur  \(\mathbb R\)   est \(x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{4}\) .
• Une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0~;+\infty[\)  est \(x \mapsto -\dfrac{1}{x}\) .
• Une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x^3}\) sur  \(]0~;+\infty[\) est \(x \mapsto -\dfrac{1}{2x^{2}}\) .
  
• Une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x^4}\) sur  \(]0~;+\infty[\) est \(x \mapsto -\dfrac{1}{3x^{3}}\) .